Quels paramètres influent sur le vol des montgolfières?
TPE - Mathématiques, Physique - Matière et forme
Interprétation: Vérification des résultats expérimentaux
Calcul des valeurs limites
Nous allons calculer les valeurs limites de température interne, de volume et de masse de la montgolfière, dans des conditions externes fixes :
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Te = 15°C
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P = 1,013.105 Pa
-
ρ15=1,221 kg/m3
2.Valeur limite de volume de l’enveloppe de la montgolfière
De même nous pouvons calculer le volume minimum en fonction de la masse vide de la montgolfière et de la température interne de chauffage de l’air. Les calculs sont toujours faits dans les mêmes conditions extérieures fixes. En reprenant la même démarche de calcul que pour la température, on obtient l’inéquation suivante comme conditions de décollage :
D’après les lois du mouvement : Pma < Pa
Donc : (mv + ma) * g < ρ15 * V * g
Donc : (mv + ma) / ρ15 < V
Calcul de ma, la masse de l’air chaud dans la montgolfière :
P * V = n * R * Ti avec n = ma / M
Donc
On obtient ainsi à l’aide de la première équation :
Le volume doit donc être supérieur à un volume minimum qui dépend de la température interne et de la masse à vide de la montgolfière.
-
Valeur limite de température
Nous avons déjà vu qu’il existe une température interne minimum pour qu’une montgolfière décolle.
Pour que la montgolfière vole, il faut que
Cette valeur limite dépend du volume et de la masse à vide de la montgolfière.
Elle est calculée à partir de la formule suivante (cf calculs dans le paragraphe précédent) :
3.Valeur limite de masse de la montgolfière vide
Nous pouvons refaire les mêmes calculs pour cette fois calculer la limite de la masse de la montgolfière à vide pour permettre le décollage.
D’après les lois du mouvement : Pma < Pa
Donc : mv < ρ15 * V - ma
Calcul de ma à l’aide de l’équation des gaz parfaits :
P * V = n * R * Ti avec n = ma / M
On obtient ainsi la masse maximum pour le décollage :
Ainsi pour une même température Ti, plus la montgolfière sera lourde et plus le volume devra être important.
4.Etude du paramètre de la forme de l’enveloppe de la montgolfière
L’expérience n’a pas mis en évidence de résultat sur l’influence de la forme mais du point de vue théorique nous pouvons voir que la forme peut avoir un impact sur plusieurs phénomènes physiques :
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Sur les forces de frottements car celles-ci sont proportionnelles à la surface qui est perpendiculaire au déplacement.
Cela pourra être illustré avec l’exemple de deux feuilles de papier.
Une expérience simple mettant ceci en évidence, est de prendre deux feuilles de papier identiques et d'en rouler une en boule. On les lâche ensuite simultanément d'une certaine hauteur. La feuille en boule, qui a pourtant le même poids que l'autre, touche le sol la première.
Néanmoins dans le cas de la montgolfière, les forces de frottements sont beaucoup moins importantes que celle du poids et de la poussée d’Archimède. Le rôle de la forme est donc beaucoup moins important que celui du volume, et de la masse. -
Sur la poussée d’Archimède en cherchant maximiser la différence de pression entre le bas et le haut de la montgolfière.
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Sur le poids de la montgolfière en cherchant à alléger la masse de l’enveloppe. En effet, pour un même volume, la surface de tissu, et donc sa masse, peut varier suivant la forme.
Il faut remarquer que les impacts de la forme sont moins importants que ceux de la température, de la masse et du volume, c’est pour cela que nous n’avons pas pu les observer expérimentalement.
Vérification des dépendances
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La température interne dépend de la température externe.
La condition pour que la montgolfière décolle est donnée par les lois du mouvement de Newton.
D’après l’équilibre des forces : Pma < Pa
Donc : mv + ma < ρ15 * V
Or ρa = ma / V => ma = ρa * V
Donc : mv + ρa * V a < ρ15 * V
Donc : ρa - ρ15 < mv / V
On peut en conclure qu’il existe une condition sur la différence de masse volumique de l’air intérieur et de l’air extérieur. Ainsi pour une masse et un volume de montgolfière identique, la température interne dépend alors directement de la température externe. Plus généralement, la température interne nécessaire est moins élevée si la température extérieure est plus faible.
température température
Intérieur extérieur
2.Plus le rapport volume/masse est grand plus la température intérieure nécessaire est basse
Nous avons vu que pour que la montgolfière puisse décoller, il faut que la poussée d'Archimède ρa soit supérieure au poids total du ballon (montgolfière vide + air chaud).
Or le poids d’un objet est proportionnel à sa masse et la poussée d’Archimède est proportionnelle à son volume.
En effet : Pma < Pa
Donc : mv + ma < ρ15 * V
Donc : mv + ma < 1,221 * V
On voit donc bien que plus la masse mv est grande, plus le volume doit être grand.
D’autre part d’après l’équation des gaz parfait, on voit que plus la température intérieure est grande et plus ma peut être petit:
Regardons ce qu’il se passe pour la grande montgolfière lestée et la petite montgolfière qui lui est proportionnelle en masse et en volume.
On appelle :
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mg la masse à vide de la grande montgolfière lestée
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mp la masse à vide de la petite montgolfière
-
map la masse de l’air chaud de la petite montgolfière
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mag la masse de l’air chaud de la grande montgolfière lesté
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Vg le volume de la grande montgolfière lestée
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Vp le volume de la petite montgolfière
On sait que mg = 8 mp et Vg = 8 Vp
Si la grande montgolfière vole, on a :
mg + mag< 1,221 * Vg
Donc :8 mp + mag < 1,221*8* Vp
Donc : mp + ( mag /8) < 1,221 Vp
or :
alors : mp + map < 1,221 Vp
Ainsi si la grande montgolfière décolle à une température Ti, alors une montgolfière plus petite proportionnellement à la fois en masse et en volume, peut aussi décoller avec la même température interne.
Dans nos résultats expérimentaux et théoriques, nous avions trouvé une température légèrement plus haute pour la petite montgolfière à cause des problèmes de précision de masse et de volume ainsi que des erreurs de précision dans le relevé de la température.
Regardons maintenant ce qu’il se passe pour la grande montgolfière et la petite montgolfière. Nous gardons les mêmes notations.
On sait ici que mg = 4 mp et Vg = 8 Vp
Pour la petite montgolfière: mp + map< 1,221 * Vp
Pour la grande montgolfière: mg + mag< 1,221 * Vg
Donc mp + 2map < 1,221*2*Vp
Donc mp + 2map < 2,442Vp
Ainsi, si la petite montgolfière décolle à la température Ti, on a :
mp + map< 1,221 * Vp
-
2mp + 2map < 2,442 * Vp
-
mp + 2map < 2mp + 2map < 2,442 * Vp
On voit que dans ce cas, le volume augmentant plus que la masse, la masse de l’air peut cette fois être plus grande et donc il y a moins besoin de chauffer l’air à l’intérieur de la montgolfière.
On a donc vérifié que quand le volume augmente plus que la masse, il y a moins besoin de chauffer l’air dans la grande montgolfière.
C’est donc bien le rapport volume/masse qui est capital et qui agit sur la température interne.
3.La masse volumique de l’air diminue quand la pression diminue
Cette hypothèse se justifie en appliquant la loi des gaz parfait :
P.V = n.R.T
Pour une température et un volume constant, si P diminue alors n (quantité de matière) diminue, donc la masse diminue.
4.La température extérieure et la pression varient en fonction de l’altitude
Nous pouvons ajouter une relation à l’ensemble de nos hypothèses effectuées lors des expérimentations.
La pression diminue en fonction de l’altitude. La pression diminue très vite à 5000m elle vaut déjà la moitié de celle au niveau de la mer.
La température diminue aussi en fonction de l’altitude dans la troposphère puis reste stable et augmente dans la stratosphère.
5.Quand la masse augmente le volume doit augmenter
La montgolfière est en équilibre si la force d’Archimède s’oppose au poids, c’est-à-dire si :
Pour une température et une pression extérieures fixes, la masse volumique de l’air extérieure est alors fixe. Ainsi, si la masse correspondant au poids augmente, il faut alors que le volume correspondant à la poussée d’Archimède augmente. Sachant que le volume de fluide déplacé correspond au volume de la montgolfière, on peut en conclure que si la masse de la montgolfière augmente, alors le volume de la montgolfière doit augmenter.
