Quels paramètres influent sur le vol des montgolfières?

Nous cherchons les conditions d’équilibre de la montgolfière.
Pour cela on cherche la valeur de la température interne Ti pour que la force de poussée d’Archimède Pa soit égale au poids Pma correspondant au poids de la montgolfière vide de masse mv plus le poids de l’air de masse ma contenu à l’intérieur de la montgolfière.
Dans le calcul de Pa, le volume V de l’air déplacé est égal au volume V de la montgolfière gonflée.
Pour simplifier les calculs, nous considérons que la pression est la même partout car les variations de pression sont très petites. En effet, elle est de l’ordre de 25 Pa pour une montgolfière de 10m de hauteur, ce qui est négligeable par rapport à 1,013.105 Pa, valeur de la pression à l’altitude 0m.
Les calculs sont faits dans le repère galiléen avec une projection sur l’axe des ordonnées.

Nous cherchons les conditions d’équilibre de la montgolfière car au début l’accélération est nulle. Pour cela on cherche la valeur de la température interne Ti quand la force de poussée d’Archimède Pa est égale au poids P correspondant au poids de la montgolfière vide de masse mv et au poids de l’air de masse ma contenu à l’intérieur de la montgolfière. Les calculs sont faits dans le repère galiléen avec une projection sur l’axe des ordonnées.

On sait que        P = 1,013.105 Pa 

                               Te = 15°C

D’après l’équilibre des forces:                   Pma = Pa

Or le poids est défini par :                           Pma  = (mv + ma) * g

avec mv masse de la montgolfière vide
et  ma masse de l’air chaud à l’intérieur de la montgolfière

La poussée d’Archimède est définie par : Pa = ρ15 * V * g

Car le volume de l’air déplacé est égal au volume de la montgolfière V

Donc :                   (mv + ma) * g = ρ15 * V * g

Donc :                   (mv + ma)  = ρ15 * V

Donc :                   (ma  = ρ15 * V  - mv

 

Calculons ρ15 à l’aide de l’équation des gaz parfaits

 

 

 

 

 

      

 

On peut donc maintenant calculer la masse de l’air chaud contenu à l’intérieur de la montgolfière

ma  = ρ15 * V  - mv

ma  = 1,221* 0,418  - 0,066

ma  = 0,446 kg

Nous avons ainsi obtenu la masse et le volume de l’air.

Connaissant la masse volumique de l’air, nous pouvons retrouver la température correspondante grâce à l’équation des gaz parfaits

P * V = n * R * Ti

 

 

 

Or n = ma / M

 

 

 

 

 

 

 

 

Nous avons ainsi trouvé qu’il faut une température de 55,65°C pour que la grande montgolfière puisse se maintenir en équilibre dans l’air ambiant à 15°C.

 

Vérifions avec ces températures que la variation de pression à l’intérieur de la montgolfière pouvait bien être négligée.

On note Pint(0) la pression interne en bas de la montgolfière et Pint(H) la pression interne en haut de la montgolfière d’une hauteur de 150cm. Etant donné que la montgolfière est ouverte en bas, on a :

Pint(0) = Pext(0)

Pint(0) = 1,013.105 Pa 

Or on sait que Pint(h + dh) = P(h) – ρh g dh

Pint(H) = Pint(0) - 

On voit donc que Pint(H) est assimilable Pint(0)

 

Pour vérifier les températures théoriques de toutes nos expériences, nous avons entré nos formules sous Excel