Quels paramètres influent sur le vol des montgolfières?
TPE - Mathématiques, Physique - Matière et forme
Expérience n°1: Quels paramètres interviennent?
Création de trois maquettes de montgolfière: une grande montgolfière à fuseaux, un petite montgolfière a fuseaux 8 fois plus petite, et une montgolfière de forme pyramidale.
Matériel pour les trois maquettes:
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Papier de soie canson : très faible masse volumique 18g/m2, choisi pour sa légèreté.
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Colle UHU twist and glue : colle liquide de haute performance ultra forte qui colle sans déformer le papier et qui possède un embout très fin. Elle permet d’obtenir une parfaite étanchéité.
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Fil de fer plastifié diamètre 1 mm : matériaux déformable pour créer un cercle assez rigide
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Pinces à cheveux type glissière : légère et forte capacité de serrage pour attacher le cercle en fil de fer sur l’embouchure de la montgolfière
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Papier kraft : peu cher et de grande taille pour la réalisation des gabarits
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Ciseaux, règle, équerre, crayon noir
Maquette n°1: grande montgolfière à fuseaux:
Fabrication:
Cette maquette est assemblée à partir de 8 fuseaux en papier de soie collés entre eux selon les étapes suivantes :
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Réalisation d’un gabarit en papier kraft.
Ce gabarit a pour dimension Longueur : 150 cm et largeur : 24 cm.
Il est effectué à partir d’un quadrillage de carrés de 6cm de coté, sur lequel est dessiné le patron de la courbe de la forme de la montgolfière. Le patron est ensuite découpé. -
Découpage des fuseaux en papier de soie.
Les feuilles en papier de soie sont ensuite collées deux à deux pour obtenir des rectangles de 150cmx48cm.
Chaque rectangle est plié en deux dans le sens de la longueur puis est découpé suivant le patron. -
Les fuseaux sont collés deux à deux bord à bord, le long du côté arrondi. L’ensemble du collage est retourné juste avant la denier collage afin de n’avoir que le collage du dernier coté apparent.
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Un petit cercle en papier de soie est découpé et collé en haut de la montgolfière pour assurer sa parfaite étanchéité. Un ballon est introduit dans la montgolfière et sert de support afin de pouvoir coller le cercle bien à plat sur la montgolfière.
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Un cercle en fil de fer est réalisé pour renforcer l’embouchure et lui donner une forme arrondie. Ce cercle est fixé à l’aide de pinces à cheveux type glissières afin de pouvoir être changé si nécessaire.
Caractéristiques physiques de la montgolfière:
La masse de la montgolfière dégonflée est mesurée a l'aide d'une balance numérique on obtient ainsi la masse de la montgolfière vide:
mmg = 66 g
mmg = 0,066 kg
Le volume de la montgolfière est plus difficile à calculer car sa forme ne correspond pas à une forme géométrique connue. Nous allons donc calculer son volume approché.
Pour cela nous allons découper notre maquette en 24 tranches dans le sens de la hauteur et nous allons approximer chaque tranche par un cylindre de 6cm de haut.
Pour chaque cylindre, grâce à notre patron, nous pouvons calculer le périmètre correspondant au contour extérieur de la montgolfière. Nous pouvons en déduire le rayon du cylindre puis son volume.
Nous avons réalisé ce calcul sur une feuille Excel pour automatiser les calculs de chaque cylindre et sommer l’ensemble des résultats.
Voici le détail de chaque colonne :
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d est la distance en cm sur le patron à mi-hauteur de chaque carré.
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p est le périmètre en cm de chaque cylindre : p = 8 * 2 * d
sachant qu’il y a 8 fuseaux et que chaque fuseau est constitué de deux fois le patron. -
r est le rayon en cm de chaque cylindre : p = 2πr => r = p / (2π)
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R est le rayon en m : R = r / 100
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v est le volume : v = π * R2 * h = > v = 0,06π * R2
En faisant la somme de chaque volume de cylindre vi correspondant à chaque carré du patron,on obtient : V = 0,418m3
Maquette n°2: Petite montgolfière à fuseaux:
La petite maquette est construite selon le même principe que la grande maquette avec des carreaux de 3*3 cm2 au lieu de 6*6cm2. Pour alléger la petite montgolfière, nous n’avons pas ajouter de cercle en fer à l’embouchure mais nous avons uniquement effectué des replies. Vue la taille, cela a suffi à rigidifier l’embouchure.
Caractériques physiques de la montgolfière:
Fabrication:
La petite montgolfière est pesée dégonflée comme la grande motgolfière, on obtient ainsi la masse de la montgolfière vide :
mmp = 0,014 kg
mmp = mmg /4,7
Calculons le volume.
La hauteur est égale à la moitié de celle de la grande montgolfière :
h=75cm => hp = hg/2
et le périmètre de chaque cylindre approximatif est divisé par deux par rapport à la grande montgolfière.
Etant donné que R = p / (2 , le rayon est aussi divisé par deux => Rp = Rg/2
Etant donné que : v = π * R2 * h
=> vp = = π * Rp2 * hp
=> vp = π * (Rg/2)2 * hg/2
=> vp = vg/8
La petite montgolfière a donc un volume 8 fois plus petite que la grande montgolfière, soit :
Vmp = Vmg /8
Vmp = 0,052 m3
La petite montgolfière est environ quatre fois plus légère que la grosse
Maquette n°3: montgolfière pyramidale
La montgolfière pyramidale est fabriqué a l'aide de 6 trapèzes en bas, 3 rectangles au milieu, et 6 triangles en haut.
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On fabrique des patrons pour les trois formes dont nous avons besoins, le trapèze mesure à la base 38cm sur le coté 50,5cm et en haut 21cm, le rectancle mesure 75cm de long et 50cm de haut et le triangle est isolcèle il mesure 38cm à la base et 53cm sur les cotés.
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On découpe ensuite dans le papier de soie a l'aide des patrons 6 trapèzes, 3 rectangles et 6 triangles.
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On colle bord à bord les formes découpés avec les trapèzes en bas, les rectangles au milieu et les triangles en haut.
Fabrication:
Caractéristiques physiques de la montgolfière:
Calculons le volume:
on décompose le calcul en quatre étapes on calculera tout d'abord le volume de la partie haute c'est a dire de la pyramide puis ensuite du milieu qui est un hexagone ensuite le volume de la partie basse ou on calculera le volume de la pyramide et on enlèvera le volume de la partie imaginaire et enfin on fera la somme des trois volume.
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volume de la pyramide du haut:
on calcule la hauteur de la pyramide d'après le théorème de Pythagore on trouve h=0,652m puis on calcule l'aire de la base on trouve b=0,375m2 et on calcule enfin le volume de la pyramide: V= 1/3xbxh on trouve V= 0,0815m3 -
Volume hexagone du milleu:
on calcule V= bxh on trouve V= 0,1875m3 -
Volume de l partie haute:
Pour calculer le volume on va tout d'abord calculer le volume de la pyramide c'est a dire que nous allons construire fermé les trapèzes en triangle nous allons mesurer la longueur de ce triangle imaginaire puis calculer la hauteur à l'aide du théorème de Pythagore on trouve h=1,24m puis on calcule le volume de la pyramide donc V= 1/3xhxb on trouve V=0,155m3 puis on va calculer le volume de la pyramide de la partie imaginaire c'est a dire de la partie du triangle que on a rajouter pour calculer le volume de la partie basse on trouve V= 0,03m3 puis on soustrait enfin ce volume au volume totale on trouve V=0,125m3 -
On additionne les trois volume trouvé et on trouve finalement V=0,394m3.
Vp= 0,394m3
Le volume de la montgolfière pyramidale est environ égale a celui de la grande montgolfière. Nous pouvons justifier cette écarts de volume à cause des approximation dans les calcules.
La montgolfière pyramidale est pesée dégonflée comme la grande motgolfière, on obtient ainsi la masse de la montgolfière vide :
mp = 0,047 kg